2.4.2 Режекторный rc-фильтр

Общая характеристика и принцип работы

Рис. 2.6 – Схема двойного Т-образного фильтра

Двойной Т-образный фильтр, на радиотехническом жаргоне – “Фильтр пробка”, образован параллельным соединением симметричных Т-образных RC-фильтров нижних и верхних частот (рис. 2.6). Сигнал на выход фильтра проходит по двум каналам: через ФНЧ, с комплексным коэффициентом передачи К_вч(jw).

Если значение параметров элементов схемы выбрать так, как указано на рис. 2.6, то разность фаз между сигналами, поступающими на выход по обоим каналам на всех частотах будет постоянной и равной 180^о, т.е. сигналы будут вычитаться, а фаза результирующего напряжения U_вых(jw) будет равна фазе входного напряжения того канала, модуль коэффициента передачи которого больше.

АЧХ и ФЧХ исследуемого фильтра внешне напоминает соответствующие характеристики резонансных цепей: на некоторой частоте модуль передаточной функции достигает минимума (теоретически нуля), а ФЧХ меняет знак. Поскольку резонансные явления возможны только в LC-цепях, частота w_о получила название частоты квазирезонанса (“как бы - резонанса”).

Расчётные соотношения

Для получения расчётных соотношений удобно воспользоваться теорией четырёхполюсника: Y-параметры двойного Т-фильтра можно найти суммированием Y-параметров образующих его параллельно включенных ФНЧ и ФВЧ (рис. 2.6). С учётом принятых на рис. 2.6 условно положительных направлений токов и напряжений, получим:

_ _ _ _

| Y₁₁ Y₁₂ | | (1+j 2 Ω)/2R(1+jΩ) -1/2R(1+jΩ) |

[Y]_НЧ= | | = | | (2.1)

|_Y₂₁ Y₂₂_| нч |_ -1/2R(1+jΩ) (1+j 2 Ω)/2R(1+jΩ) _|

_ _ _ _

| Y₁₁ Y₁₂ | | j Ω (2+j Ω)/2R(1+jΩ) Ω²/2R(1+jΩ) |

[Y]_ВЧ= | | = | | (2.2)

|_Y₂₁ Y₂₂_| вч |_ Ω²/2R(1+jΩ) j Ω (2+j Ω)/2R(1+jΩ) _|

_ _

| (1-Ω²+j 4 Ω)/2R(1+jΩ) (Ω²-1)/ 2R(1+jΩ) |

[Y]р=[Y]_НЧ+[Y]_ВЧ=| | (2.3)

|_(Ω²-1)/ 2R(1+jΩ) (1-Ω²+j 4 Ω)/2R(1+jΩ)_|

Ω=W/W₀=WRC – нормированная частота.

Комплексный коэффициент передачи режекторного фильтра можно найти по известной из теории четырехполюсников формуле.

К=-Y₂₁/( Y₂₂ +Y_H)

Наилучшим образом Режекторный фильтр работает в режиме холостого хода (Z_H=∞) при возбуждении от источника э.д.с. (R_i=0). Для этого случая выражение 2.4 принимает вид:

K_xx= Y₂₁ /Y₂₁=(1-Ω²)/(1-Ω²+ j 4 Ω) (2.5)

Из (2.5) получим расчётные соотношения АЧХ и ФЧХ:

K_xx(Ω)=|1-Ω²|/((-Ω²)²+16Ω²)^1/2 (2.6)

φ_xx(Ω)=arctg(0/(1-Ω²))-arctg(4Ω/(1-Ω²)) (2.7)

Как следует из (2.6), (2.7), на нормированной частоте Ω₀=1 коэффициент передачи равен 0, а ФЧХ в окресностях Ω₀ скачком изменяется на 180⁰.

Частота, соответствующая значению Ω₀=1, называется частотой квази резонанса и рассчитывается по формуле:

f₀=1/2πRC (2.8)

Особенности работы режекторного RC-фильтра

Положим R_i=0 и R_H=∞.

Для изучения особенностей работы Т-образного моста удобно воспользоваться принципом суперпозиции и рассматривать амплитудно-частотные и фазовые характеристики RC-фильтра верхних частот, нагрузкой которого служит водное сопротивление замкнутого на выходе ФНЧ (рис. 2.7б), и отдельно АЧХ и ФЧХ RC-фильтра нижних частот, нагруженное на выходное сопротивление ФВЧ с коротко замкнутыми выходными зажимами (рис. 2.7в).

А)

В)

Б)

Рис. 2.7 – Иллюстрация к применению принципа суперпозиции

для исследования особенности функционирования

режекторного RC-фильтра.

Из рис. 2.7 видно, что напряжение

U₂=U_2НЧ+ U_2ВЧ= ЕК_НЧ +ЕК_ВЧ (2.9)

Т.е. К= К_НЧ +К_ВЧ (2.10)

Выходное сопротивление четырёхполюсника определяется как величина, обратная входной проводимости Y_ВХ, котораяв режиме короткого замыкания на выходе всегда равна Y₁₁. Тогда с учётом (2.1), (2.2), (2.4) и Y_Н =Y₁₁ соответствующего четырёхполюсника нетрудно найти выражение передаточных функций:

K_НЧ(jΩ)=1/(1-Ω²+ j 4 Ω) (2.11)

K_НЧ(Ω)=1/((-Ω²)²+16Ω²)^1/2 (2.12)

φ_НЧ(Ω)=-arctg(4Ω/(1-Ω²)) (2.13)

K_BЧ(jΩ)=-Ω²/(1-Ω²+ j 4 Ω) (2.14)

K_BЧ(Ω)=Ω²/((-Ω²)²+16Ω²)^1/2 (2.15)

Φ_BЧ(Ω)=π/(-arctg(4Ω/(1-Ω²))) (2.16)

Подстановка (2.11) и (2.14) в (2.10) приводит нас к выражению (2.5).

Из сравнения (2.13) и (2.16) следует, что разность фаз напряжений U_2HЧ и U_2ВЧ на всех частотах равна π.