Правильные многогранники 5 кл

ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОГРАННИКИ

Н а рисунке изображены правильные многогранники . Их гранями являются равные правильные многоугольники, и в вершинах каждого многогранника сходится одинаковое число граней.

В режиме слайдов формулировки появляются после кликанья мышкой

ПРАВИЛЬНЫЕ МНОГОГРАННИКИ

Правильные многогранники были известны еще в древней Греции. Пифагор и его ученики считали, что все состоит из атомов , имеющих форму правильных многогранников. В частности, атомы ог ня имеют форму тетраэдр а (его гранями являются четыре правильных треугольника (рис. а); земл и - гексаэдр а (куб – многогранник, гранями которого являются шесть квадратов, рис. б ); воздух а – октаэдр а (его гранями являются восемь правильных треугольников, рис. в ); вод ы – икосаэдр а (его гранями являются двадцать правильных треугольников, рис. г ); вся Вселенная, по мнению древних, имела форму додекаэдра (его гранями являются двенадцать правильных пятиугольников, рис. д).

Названия многогранников тоже имеют древнегреческое происхождение. В переводе с греческого: "Тетра" - четыре; "Гекса" - шесть; "Окто" - восемь; "Икоси" - двадцать, "Додека" - двенадцать. "Эдра" - грань.

В режиме слайдов формулировки появляются после кликанья мышкой

КОНСТРУКТОР

Модели правильных многогранников можно изготовлять с помощью конструктора, состоящего из многоугольников, сделанных из плотного материала с отгибающимися клапанами и резиновых колечек - основной крепежной детали конструктора.

Подбирая соответствующим образом многоугольники в качестве граней многогранника и скрепляя их резиновыми колечками, можно получать модели различных правильных многогранников. Для того чтобы колечки лучше держались и не мешали друг другу, уголки многоугольников в конструкторе можно немного обрезать, как показано на рисунке.

В режиме слайдов формулировки появляются после кликанья мышкой

ТЕТРАЭДР

Наиболее простым правильным многогранником является треугольная пирамида, грани которой правильные треугольники. В каждой ее вершине сходится по три грани. Имея всего четыре грани, этот многогранник называется также тетраэдром , что в переводе с греческого языка означает четырехгранник.

Упражнение 1

На клетчатой бумаге изобразите тетраэдр, аналогично показанному на рисунке.

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

КУБ (ГЕКСАЭДР)

Многогранник, гранями которого являются квадраты и в каждой вершине сходится три грани называется кубом или гексаэдром .

Упражнение 2

На клетчатой бумаге изобразите куб, аналогично показанному на рисунке.

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

ОКТАЭДР

Многогранник, гранями которого являются правильные треугольники и в каждой вершине сходится четыре грани называется октаэдром.

Упражнение 3

На клетчатой бумаге изобразите октаэдр, аналогично показанному на рисунке.

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

Упражнение 4

Сколько имеется путей длины 2 по ребрам единичного октаэдра из одной его вершины в противоположную вершину.

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

Ответ: 4.

Упражнение 5

Сколько имеется путей длины 3 по ребрам единичного октаэдра из одной его вершины в противоположную вершину.

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

Ответ: 8.

ИКОСАЭДР

Многогранник, в каждой вершине которого сходится пять правильных треугольников называется икосаэдром.

Упражнение 6

На клетчатой бумаге изобразите икосаэдр, аналогично показанному на рисунке.

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

Упражнение 7

Сколько имеется путей длины 3 по ребрам единичного икосаэдра из одной его вершины в противоположную вершину.

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

Ответ: 10.

ДОДЕКАЭДР

Многогранник, гранями которого являются правильные пятиугольники и в каждой вершине сходится три грани называется додекаэдром.

Упражнение 8

На клетчатой бумаге изобразите додекаэдр, аналогично показанному на рисунке.

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

Упражнение 9

Сколько имеется путей длины 5 по ребрам единичного додекаэдра из одной его вершины в противоположную вершину.

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

Ответ: 6.

Упражнение 10

Сколько вершин (В), ребер (Р) и граней (Г) имеют:

а) тетраэдр;

б) куб;

в) октаэдр;

г) икосаэдр;

д) додекаэдр?

Ответ: а) В = 4, Р = 6, Г = 4;

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

б) В = 8, Р = 12, Г = 6;

в) В = 6, Р = 12, Г = 8;

г) В = 12, Р = 30, Г = 20;

д) В = 20, Р = 30, Г = 12.

Упражнение 11

Окраска граней многогранника называется правильной, если соседние грани имеют разные цвета. Какое минимальное число красок потребуется для правильной окраски граней :

В режиме ответ появляется после кликанья мышкой

Ответ: 4.

а) тетраэдра;

б) куба;

Ответ: 3.

в) октаэдра;

Ответ: 2.

г) икосаэдра;

Ответ: 3 .

д) додекаэдра?

Ответ: 4.

Упражнение 12

Представьте многогранник - бипирамиду, сложенную из двух равных правильных тетраэдров совмещением каких-нибудь их граней. Будет ли он правильным многогранником?

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

Ответ: Нет, в его вершинах сходится разное число граней.

Упражнение 13

Является ли пространственный крест правильным многогранником?

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

Ответ: Нет.

Упражнение 14

На рисунке изображен многогранник – звезда Кеплера, являющийся объединением двух тетраэдров. Какой многогранник является общей частью (пересечением) этих тетраэдров?

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

Ответ: Октаэдр.

Упражнение 15

Сколько тетраэдров изображено на рисунке ?

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

Ответ: Пять.

Упражнение 16

Сколько кубов изображено на рисунке ?

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

Ответ: Три.

Упражнение 17

Сколько октаэдров изображено на рисунке ?

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

Ответ: Три.

Упражнение 18

Соединение каких двух правильных многогранников изображено на рисунке ?

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

Ответ: Куба и октаэдра.

Упражнение 19

Соединение каких двух правильных многогранников изображено на рисунке ?

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

Ответ: Икосаэдра и додекаэдра.

Упражнение 20

Соединение каких двух правильных многогранников изображено на рисунке ?

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

Ответ: Два икосаэдра.

Упражнение 21

Вершинами какого многогранника являются центры граней куба?

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

Ответ: Октаэдра.

Упражнение 22

Вершинами какого многогранника являются центры граней октаэдра?

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

Ответ: Куба.

Упражнение 23

Вершинами какого многогранника являются центры граней тетраэдра?

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

Ответ: Тетраэдр.

Упражнение 24

Вершинами какого многогранника являются середины ребер тетраэдра?

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

Ответ: Октаэдра.

Упражнение 25

Вершинами какого многогранника являются центры граней икосаэдра?

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

Ответ: Додекаэдр.

Упражнение 26

Вершинами какого многогранника являются центры граней додекаэдра?

В режиме слайдов ответ появляется после кликанья мышкой.

Ответ: Икосаэдр.

Упражнение 2 7

Какие из фигур, изображенных на рисунке не являются развёртками правильного тетраэдра?

В режиме ответ появляется после кликанья мышкой

Ответ: Фигура 3, так как у неё имеется точка, в которой сходится четыре треугольника, а у тетраэдра имеются только вершины, в которых сходится по три ребра.

Упражнение 2 8

На рисунке укажите развёртки октаэдра .

В режиме ответ появляется после кликанья мышкой

Ответ: Фигуры 6, 9 и 10.

Упражнение 2 9

Развертка какого многогранника изображена на рисунке?

В режиме ответ появляется после кликанья мышкой

Ответ: Икосаэдра .

Упражнение 30

Развертка какого многогранника изображена на рисунке?

В режиме ответ появляется после кликанья мышкой

Ответ: Додекаэдра .

Упражнение 31

Можно ли обойти все ребра тетраэдра, пройдя по каждому ребру ровно один раз?

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ: Нет.

Упражнение 32

Какое наименьшее число ребер придется пройти дважды, чтобы обойти все ребра тетраэдра ?

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ: Одно.

Упражнение 33

Какое наименьшее число ребер придется пройти дважды, чтобы обойти все ребра тетраэдра и вернуться в исходную вершину ?

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ: Два.

Упражнение 34

Можно ли обойти все ребра куба, пройдя по каждому ребру ровно один раз?

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ: Нет.

Упражнение 35

Какое наименьшее число ребер придется пройти дважды, чтобы обойти все ребра куба ?

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ: Три.

Упражнение 36

Какое наименьшее число ребер придется пройти дважды, чтобы обойти все ребра куба и вернуться в исходную вершину ?

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ: Четыре.

Упражнение 37

Можно ли обойти все ребра октаэдра, пройдя по каждому ребру ровно один раз?

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ: Да.

Упражнение 38

Можно ли обойти все ребра икосаэдра, пройдя по каждому ребру ровно один раз?

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ: Нет.

Упражнение 39

Какое наименьшее число ребер придется пройти дважды, чтобы обойти все ребра икосаэдра ?

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ: Пять.

Упражнение 40

Какое наименьшее число ребер придется пройти дважды, чтобы обойти все ребра икосаэдра и вернуться в исходную вершину ?

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ: Шесть.

Упражнение 41

Можно ли обойти все ребра додекаэдра, пройдя по каждому ребру ровно один раз?

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ: Нет.

Упражнение 42

Какое наименьшее число ребер придется пройти дважды, чтобы обойти все ребра додекаэдра ?

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ: Девять.

Упражнение 43

Какое наименьшее число ребер придется пройти дважды, чтобы обойти все ребра додекаэдра и вернуться в исходную вершину ?

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ: Десять.

Упражнение 44

Каким правильным многогранникам соответствуют графы, изображенные на рисунке ?

В режиме слайдов ответы появляются после кликанья мышкой

Ответ: а) куб; б) октаэдр; в) додекаэдр; г) икосаэдр.