Справочный материал
Примеры
Обратите внимание!
Видео
Модели
Пройти тесты
Многогранником называют пространственное тело, ограниченное плоскими многоугольниками.
Многоугольники называют гранями многогранника, стороны многоугольников – ребрами многогранника, а вершины многоугольников – вершинами многогранника.
Многогранник называют выпуклым, если он расположен по одну сторону от плоскости каждой из его граней.
Правильным многогранником называют выпуклый многогранник, у которого все грани – правильные многоугольники с одним и тем же числом сторон и в каждой вершине многогранника сходится одно и то же число ребер.
Грани правильного многогранника могут быть или равносторонними треугольниками, или квадратами, или правильными пятиугольниками.
Если у правильного многогранника грани – правильные треугольники, то соответствующими многогранниками являются правильный тетраэдр – он имеет грани (рис.9.27), правильный октаэдр – он имеет граней (рис.9.28), правильный икосаэдр – он имеет граней (рис. 9.29).
Если у правильного многогранника грани – квадраты, то многогранник называется кубом или гексаэдром – он имеет граней (рис. 9.30).
Если у правильного многогранника грани – правильные пятиугольники, то многогранник называется додекаэдром – он имеет граней (рис. 9.31).
Сечения многогранников
Секущей плоскостью многогранника называют плоскость, разделяющую этот многогранник на два многогранника. Сечением многогранника называют многоугольник, вершины которого лежат на ребрах многогранника, а стороны – на его гранях.
На рисунке 9.32 плоскость – секущая плоскость призмы, а четырехугольник – сечение призмы.
Пример 1. Постройте сечение, проходящее через сторону нижнего основания и противоположную вершину верхнего основания усеченной треугольной пирамиды, изображенной на рисунке 9.33.
Решение. Поскольку точки и лежат в грани , то – прямая, по которой секущая плоскость пересекает эту грань (рис. 9.34). Поскольку точки и лежат в грани , то секущая плоскость пересекает эту грань по прямой . Следовательно, треугольник – искомое сечение.
Пример 2. Постройте сечение, проходящее через точку параллельно плоскости основания треугольной пирамиды, изображенной на рисунке 9.35.
Решение. В плоскости грани параллельно прямой построим отрезок (рис. 9.36). В плоскости грани параллельно прямой построим отрезок . Так как точки и принадлежат грани , то, соединив их, получим треугольник – искомое сечение.
Пример 3. Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки , , и , принадлежащие его ребрам , , и (рис. 9.37).
Решение. 1. Поскольку точки и принадлежат грани пирамиды, то, соединяя их, получим отрезок , по которому секущая плоскость пересекает эту грань (рис. 9.38).
2. Соединив точки и , получим отрезок, по которому секущая плоскость пересекает грань . Прямая пересекает прямую в точке .
3. В плоскости грани построим прямую , которая прямую пересекает в точке .
4. Соединяя точки и , а также точки и , получим пятиугольник – искомое сечение.
Пример 4. Постройте сечение прямого параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки , и , принадлежащие его ребрам , , (рис. 9.39).
Решение. 1. Поскольку точки и принадлежат грани параллелепипеда, то, соединяя их, получим отрезок , по которому секущая плоскость пересекает эту грань (рис. 9.40).
2. Соединив точки и , получим отрезок, по которому секущая плоскость пересекает грань . Прямая пересекает прямую в точке , а прямую – в точке .
3. В плоскости грани построим прямую , которая прямую пересекает в точке , а ребро параллелепипеда – в точке .
4. В плоскости грани построим прямую , которая пересечет ребра и в точках и .
5. Шестиугольник – искомое сечение.
При построении сечений многогранников необходимо помнить:
а) соединяя точки, лежащие в плоскости одной грани, получим прямую, по которой секущая плоскость пересекает эту грань;
б) если секущая плоскость пересекает две параллельные грани, то линии пересечений параллельны.