Еще раз о полуправильных многогранниках

Степан Кузнецов
«Квант» №3, 2019

В «Калейдоскопе „Кванта“» В № 11 за 2018 год мы рассказывали о полуправильных многогранниках, т.е. выпуклых многогранниках, грани которых суть правильные многоугольники и все вершины устроены одинаковым образом. Была приведена полная классификация таких многогранников: две бесконечные серии — призмы и антипризмы, пять правильных многогранников (платоновых тел: икосаэдр, куб, октаэдр, додекаэдр и икосаэдр) и еще 14 многогранников, традиционно называемых архимедовыми. Полуправильный многогранник определяется типом вершины: информацией, какие многоугольники сходятся к ней и в каком порядке. Например, (3, 4, 4), т.е. «треугольник — квадрат — квадрат» — это треугольная призма. При этом одному из типов вершин, а именно (3, 4, 4, 4), отвечают сразу два многогранника: ромбокубооктаэдр и псевдоромбокубооктаэдр.

Псевдоромбокубооктаэдр стоит среди полуправильных многогранников особняком — и дело не только в том, что его открыли в XX веке, в то время как остальные были известны еще древним грекам. В отличие от других полуправильных, этот многогранник не обладает глобальной симметрией, или свойством транзитивности: хоть любые две его вершины и устроены одинаковым образом, не всегда их можно совместить движением, переводящим многогранник в себя. Из-за этого псевдоромбокубооктаэдр не всегда относят к архимедовым телам, и тогда последних остается 13.

Рис. 1

Наш постоянный читатель О. Лазутченко задал следующий интересный вопрос. Псевдоромбокубооктаэдр получается из обычного ромбокубооктаэдра поворотом «шапочки» (рис. 1). Эта «шапочка» называется n-скатным куполом, где n — число сторон ее верхней грани. А что будет, если повернуть «шапочку» у другого полуправильного многогранника — ромбоикосододекаэдра (рис. 2)? Результат немного разочаровывает: получившийся многогранник еще дальше от «правильности», чем полуправильные. У него по-прежнему к каждой вершине сходятся четыре правильных многоугольника — треугольник, два квадрата и пятиугольник, но в разном порядке. У некоторых вершин порядок остался (3, 4, 5, 4), а у других стал (3, 4, 4, 5). Однако почему бы не рассмотреть полуправильные многогранники в слабом смысле: потребовать, чтобы к каждой вершине сходился одинаковый набор многоугольников, но в произвольном порядке?

Рис. 2

Давайте попробуем перечислить все многогранники, полуправильные в слабом смысле. Воодушевляет на такое исследование следующий более общий факт. Отбросим любые условия на вершины и потребуем только, чтобы у многогранника все грани были правильными многоугольниками — все равно, кроме призм и антипризм, получится конечное число разных многогранников! Такие многогранники называются правильногранными. Полная классификация правильногранных многогранников приведена в статье В. А. Залгаллера «Выпуклые многогранники с правильными гранями» (Записки научных семинаров ЛОМИ, № 2, 1967, с. 5–221). Статья Залгаллера доступна по адресу — несмотря на ее большой объем и сложность, мы очень советуем читателю ознакомиться с ней.

Семейство правильногранных многогранников включает в себя пять платоновых тел, 13 архимедовых плюс псевдоромбокубооктаэдр, бесконечные серии призм и антипризм, а также еще 91 многогранник. Эти последние многогранники называются джонсоновыми телами по имени автора статьи, в которой они впервые все были перечислены: N. W. Johnson. Convex polyhedra with regular faces (Canadian Journal of Mathematics, vol. 18, 1966, p. 169–200). Псевдоромбокубооктаэдр также относится к джонсоновым телам, если его не причислять к архимедовым; тогда джонсоновых тел становится 92. В своей работе Н. Джонсон приводит перечень всех джонсоновых тел, но не доказывает, что других не бывает (это сделал в упомянутой выше статье В. А. Залгаллер).

Нас интересуют полуправильные в слабом смысле многогранники, не являющиеся таковыми в сильном смысле. Ясно, что все они суть джонсоновы тела. Значит, нам достаточно перебрать все джонсоновы тела и отобрать среди них те, у которых в каждой вершине сходятся одни и те же многогранники. Особенно удобно делать это по статье Джонсона, где для каждого многогранника указаны типы его вершин, т.е. какие многоугольники и в каком количестве сходятся в каждую вершину.

Наш перебор дает 6 новых правильногранных многогранников, у которых в каждой вершине сходятся те же многоугольники, но в разном порядке. Интересно, что все они получаются из архимедовых многогранников с помощью операции «поворота шапочки», описанной в начале статьи. Перечислим эти шесть многогранников.

Во-первых, поворотом купола у ромбоикосододекаэдра, как предложил нам О. Лазутченко, можно получить целых четыре многогранника (у Джонсона они имеют номера 72–75). Многогранников получилось несколько, потому что можно повернуть не один, а два или даже три купола. Надобно только следить, чтобы эти купола не имели общих граней: при повороте купол «ломает» все смежные с ним купола. Если повернуть один купол, то получится скрученный ромбоикосододекаэдр (рис. 3). Два купола можно повернуть двумя способами — либо один напротив другого, и тогда получится дважды противоположно скрученный ромбоикосододекаэдр (рис. 4); либо два непротиволежащих, что дает дважды косо скрученный ромбоикосододекаэдр (рис. 5). Наконец, три непересекающихся купола можно выбрать только одним способом; повернув их, получим трижды скрученный ромбоикосододекаэдр (рис. 6). По Залгаллеру, скрученные версии ромбоикосододекаэдра обозначаются так: \( \overline{M_6} + M_{14} + M_6 \) или \( \overline{M_6} + M_{13} + 2M_6 \); \( \overline{M_6} + M_{14} + \overline{M_6} \); \( 2\overline{M_6} + M_{13} + M_6 \); \( 3\overline{M_6} + M_{13} \). (Через M_i Залгаллер обозначает простые правильногранные многогранники, которые нельзя составить из нескольких правильногранных многогранников; остальные правильногранные многогранники получаются в виде «сумм» простых, при этом черта означает перекручивание. Видно, что M₆ — это как раз и есть «шапочка», пятискатный купол.)

Рис. 3–6 (слева направо, сверху вниз)

Рис. 7

Во-вторых, заметим, что кубооктаэдр (рис. 7) складывается из двух трехскатных куполов, причем повернутых друг относительно друга так, что треугольные грани верхнего купола смежны с квадратными гранями нижнего и наоборот. Это объясняет другое название кубооктаэдра — трехскатный повернутый бикупол (или трехскатный гиробикупол: приставка «гиро», греческого происхождения, означает ‘повернутый’). Если развернуть один из куполов так, что квадраты будут смежны с квадратами, а треугольники с треугольниками, получится еще одно полуправильное в слабом смысле тело — трехскатный прямой бикупол (рис. 8; № 27 по Джонсону, по Залгаллеру 2M₄).

Рис. 8 и 9

В-третьих, еще один многогранник можно получить поворотом из икосододекаэдра (рис. 9), повернув одну его половину. В отличие от предыдущих случаев, здесь поворачивается не купол, а более сложная конструкция, называемая ротондой (рис. 10). Получается полуправильный в слабом смысле многогранник, называемый пятискатной прямой биротондой (рис. 11, № 34 по Джонсону, по Залгаллеру 2M₉). Сам икосододекаэдр можно назвать пятискатной гиробиротондой.

Рис. 10 и 11

Наконец, не считая псевдоромбокубооктаэдр полноправным архимедовым телом, Джонсон и Залгаллер также приводят его в числе джонсоновых (№ 37 у Джонсона, \( M_5 + Π_{8} + \overline{M_5} \) у Залгаллера) под именем удлиненный четырехскатный повернутый бикупол («удлиненный» — потому что в середине между двумя куполами вставлена призма).

Таким образом, мы получили следующую классификацию правильногранных многогранников по мере их «удаления от правильности»:

• все грани и все вершины одинаковые — 5 платоновых тел (правильных многогранников);
• все вершины одинаковы и совмещаются симметрией многогранника — добавляется еще 13 архимедовых тел и две бесконечные серии призм и антипризм;
• все вершины одинаковы, но не обязательно совмещаются симметрией — добавляется еще псевдоромбокубооктаэдр;
• в каждой вершине сходится тот же набор многоугольников, но не обязательно в том же порядке — добавляются еще 6 многогранников, полученных из полуправильных посредством перекручивания;
• нет условий на вершины — добавляются оставшиеся 85 джонсоновых тел.

Всего правильногранных многогранников, не считая призм и антипризм, получается 5 + 13 + 1 + 6 + 85 = 110 видов.