Осциллятор Чуа

Осциллятор Чуа

Осциллятор Чуа

Рисунок 1 — Схема Чуа. L,G,C1,C2-пассивные элементы, g-диод Чуа. В классическом варианте предлагаются следующие значения элементов: L=1/7Гн;G=0.7См;C1=1/9Ф;C2=1Ф

Простейшая электрическая цепь, демонстрирующая режимы хаотических колебаний. Была предложена профессором Калифорнийского университета Леоном Чуа в 1983 году. Цепь состоит из двух конденсаторов, катушки индуктивности, линейного резистора и нелинейного резистора (обычно называемого диодом Чуа).

Уравнение цепи имеет вид:

C_1\frac{d v_{C_1}}{dt}=G(v_{C_2}-v_{C_1})-g(v_{C_1})

C_2\frac{d v_{C_2}}{dt}=G(v_{C_1}-v_{C_2})+i_{L}

L \frac{di_{L}}{dt}=-v_{C_2}


где g(v_{C_1}) — кусочно-линейная функция, определенная как

g(v_{C_1})=G_b v_{C_1} + \frac{1}{2} (G_a - G_b)( |v_{C_1}+E| - |v_{C_1}-E| )

Рисунок 2 — Вольт-амперная характеристика диода Чуа. Также показана нагрузочная прямая, от пересечения с которой образуются три точки равновесия d,0 и -d

Это соотношение представлено графически на рисунке 2: крутизна внутреннего и внешнего участков есть Ga и Gb, соответственно; при этом точки ±Е соответствуют изломам на графике.

Выполним следующие замены на безразмерные коэффициенты:

m_0=\frac{G_a}{G} ; m_1=\frac{G_b}{G}; \alpha=\frac{C_2}{C_1};\beta=\frac{C_2}{L G^2}

\tau = \frac{t G}{C_2}; x=\frac{v_{C_1}}{E}; y=\frac{v_{C_2}}{E};z=\frac{i_L}{G}

Основная система уравнений запишется в виде:

\frac{dx}{d\tau}=\alpha [y-x-h(x)]

\frac{dy}{d\tau}=x-y+z

\frac{dz}{d\tau}=-\beta y

где

h(x)=m_1 x+\frac{1}{2}(m_0-m_1)( |x+1|-|x-1|)

Схема Чуа обнаруживает хаотические режимы колебаний в довольно узкой области параметров схемы. Основные режимы колебаний условно показаны на рисунке 3.

Рисунок 3 — Бифуркационная диаграмма режимов при m0=-8/7,m1=-5/7


В случае, когда параметры α и β принадлежат области, обозначенной на диаграмме словами «Нет автоколебаний» в системе существуют два устойчивых положения равновесия d и -d и одно неустойчивое, находящееся в начале координат 0. В этом случае схема Чуа в зависимости от начальных условий может находиться в одном из двух устойчивых положений равновесия. В случае, когда параметры системы находятся в области помеченной словами «Периодические колебания» в окрестности точки равновесия d или -d существует устойчивый предельный цикл. По мере приближения к границе с хаотическим режимом, система претерпевает цикл удвоений периода. Приращение значений параметра перед наступлением каждой последующей бифуркации удвоения периода уменьшается согласно соотношению Фейгенбаума. При попадении параметров в область «Хаос» образуется странный аттрактор (рисунок 4), называемый «двойной завиток» («double scroll»). При этом типе поведения траектория система проходит в окрестности и верхнего, и нижнего положения равновесия. Внутри области существования аттрактора «double scroll» также существуют окна периодичности, подобные тем, которые существовали в области аттрактора Рёсслера. Отличием их является то, что периодическая орбита в этом случае охватывает оба положения равновесия. Когда параметры α и β переходят в область, помеченную на рисунке 3 как «Разгон», в колебательной системе наблюдаются периодические колебания нарастающей амплитуды. Поскольку диод Чуа реализуется на операционных усилителях, он имеет ограниченный динамический диапазон и поэтому в системе существует также большой по размерам устойчивый предельный цикл, охватывающий все сегменты характеристики диода Чуа.

Рисунок 4 — Аттрактор типа двойной завиток. Фигура Лиссажу iL от vС1 при L=1/7Гн; G=0.7См; C1=1/9Ф; C2=1Ф; Ga=-0.8А/В; Gb=-0.5А/В

На рисунках 5 , 6 показаны временные зависимости колебаний, обнаруживаемых данной системой.

Рисунок 5 — Временная зависимость vC1 для случая L=1/7Гн; G=0.7См; C1=1/9Ф; C2=1Ф; Ga=-0.8А/В; Gb=-0.5А/В
Рисунок 6 — Временная зависимость vC2 для случая L=1/7Гн; G=0.7См; C1=1/9Ф; C2=1Ф; Ga=-0.8А/В; Gb=-0.5А/В
Рисунок 7 — Практическая схема осциллятора Чуа. L1=8.5мГн C1=4.8нФ C2=69нФ R=1.3кОм

Лёгкость практической реализации а также наличие относительно простой математической модели делает осциллятор Чуа удобной моделью при изучении теории хаоса.

Литература

  • Бугаевский М. Ю., Пономаренко В. И. Исследование поведения цепи Чуа. Учебно-методическое пособие, — Саратов: Издательство ГосУНЦ «Колледж», 1998. — 29 с.
  • Matsumoto, T. [1984] "A Chaotic Attractor from Chua’s Circuit, " IEEE Transactions on Circuits & Systems, vol.CAS-31, no.12, pp.1055-1058.
  • Chua, LO., Komuro, M., Matsumoto, T. [1986] "The Double Scroll Family, " IEEE Transactions on Circuits & Systems, vol.CAS-33, no.11, pp.1073-1118.
  • T. Matsumoto, L. O. Chua, M. Komuro «Birth and death of the double scroll» Physica D Volume 24 , Issue 1-3 (Jan. / Feb. 1987)

Ссылки



Wikimedia Foundation. 2010.

Игры ⚽ Нужно решить контрольную?

Полезное


Смотреть что такое "Осциллятор Чуа" в других словарях:

  • Осциллятор (значения) — Осциллятор (от лат. oscillo  качаюсь)  система, совершающая колебания, то есть показатели которой периодически повторяются во времени. Физика Понятие осциллятора играет важную роль в теории твёрдого тела, электромагнитных излучений,… …   Википедия

  • Осциллятор — (от лат. oscillo  качаюсь)  система, совершающая колебания, то есть показатели которой периодически повторяются во времени. Физика Понятие осциллятора играет важную роль в физике и достаточно повсеместно используется, например, в… …   Википедия

  • Цепь Чуа — Рисунок 1  Цепь Чуа. L,G,C1,C2 пассивные элементы, g диод Чуа. В классическом варианте предлагаются следующие значения элементов: L=1/7Гн;G=0.7См;C1=1/9Ф;C2=1Ф Цепь Чуа, схема Чуа  простейшая электрическая цепь, демонстрирующая режимы… …   Википедия

  • Аттрактор — У этого термина существуют и другие значения, см. Великий аттрактор. Визуальное отображение странного аттрактора Аттрактор (англ.  …   Википедия


Поделиться ссылкой на выделенное

Прямая ссылка:
… Нажмите правой клавишей мыши и выберите «Копировать ссылку»